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Die Lagrange-Dichte L {\displaystyle {\mathcal {L}}} (nach dem Mathematiker Joseph-Louis Lagrange) spielt in der theoretischen Physik eine Rolle bei der Betrachtung von Feldern. Sie beschreibt die Dichte der Lagrange-Funktion L {\displaystyle L} in einem Volumenelement. Daher ist die Lagrange-Funktion definiert als das Integral der Lagrange-Dichte über dem betrachteten Volumen:

L = ∫ ∫ d 3 r L = ∭ ∭ d x d y d z L ( ϕ ϕ , ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ∂ t , ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ∂ x , ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ∂ y , ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ∂ z , t ) {\displaystyle L=\int \mathrm {d} ^{3}r{\mathcal {L}}=\iiint \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,{\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial t}},{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},t\right)}

mit dem betrachteten Feld ϕ ϕ ( x , y , z , t ) {\displaystyle \phi (x,y,z,t)} .

Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch Bewegungsgleichungen. So, wie man die Lagrange-Gleichungen zweiter Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrange-Gleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten (Herleitung). Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung:

∂ ∂ L ∂ ∂ ϕ ϕ i − − ∂ ∂ ∂ ∂ t ∂ ∂ L ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ϕ i ∂ ∂ t − − ∑ ∑ j = 1 3 ∂ ∂ ∂ ∂ x j ∂ ∂ L ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ϕ i ∂ ∂ x j = ∂ ∂ L ∂ ∂ ϕ ϕ i − − ∂ ∂ μ μ ∂ ∂ L ∂ ∂ ( ∂ ∂ μ μ ϕ ϕ i ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}}-\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}=0} .

• Beispiel

• Anwendung in der Relativitätstheorie

• Literatur

• Einzelnachweise

Für eine in einer Dimension schwingende Saite ergibt sich für die Lagrange-Dichte

L = 1 2 [ μ μ ( ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ∂ t ) 2 − − E ( ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ∂ x ) 2 ] {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\mu \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)^{2}-E\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)^{2}\right]}

In diesem Beispiel bedeuten:

ϕ ϕ = ϕ ϕ ( x , t ) {\displaystyle \phi =\phi (x,t)} die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage (Feldvariable)

μ μ {\displaystyle \mu } die lineare Massendichte

E {\displaystyle E} den Elastizitätsmodul

Mit dieser Lagrange-Dichte ergibt sich

∂ ∂ L ∂ ∂ ϕ ϕ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0}

∂ ∂ L ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ∂ t = μ μ ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}}=\mu {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}

∂ ∂ L ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ∂ x = − − E ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial x}}}}=-E{\frac {\partial \phi }{\partial x}}}

Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichung der schwingenden Saite

E ∂ ∂ 2 ϕ ϕ ∂ ∂ x 2 − − μ μ ∂ ∂ 2 ϕ ϕ ∂ ∂ t 2 = 0 {\displaystyle E{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}-\mu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=0}

Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrange-Dichte statt über die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrange-Funktion gewünscht, dann ist die Wirkung über

S = ∫ ∫ d 4 x − − g L {\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,{\mathcal {L}}}

definiert, wobei g {\displaystyle g} die Determinante des metrischen Tensors ist.cite-ref-1[1] Damit ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Pseudoskalar, also invariant unter Lorentz-Transformationen:

L ′ ( x μ μ ) = L ( x μ μ ′ ) = L ( x μ μ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}'(x_{\mu })={\mathcal {L}}(x'_{\mu })={\mathcal {L}}(x_{\mu })} mit x μ μ ′ = Λ Λ μ μ ν ν x ν ν {\displaystyle x'_{\mu }=\Lambda _{\mu \nu }x^{\nu }} , wobei Λ Λ μ μ ν ν {\displaystyle \Lambda _{\mu \nu }} der Lorentz-Transformationstensor ist.

• Franz Schwabl: Lagrange-Dichte. In: Ders.: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, Berlin 2005, ISBN 978-3-540-28865-7, S. 281ff.

cite-note-11. ↑ Clinton L. Lewis: Explicit gauge covariant Euler–Lagrange equation. In: American Journal of Physics. Band 77, 2009, S. 839, doi:10.1119/1.3153503.